تساعدك حاسبة الكسور على إجراء مختلف العمليات على الكسور بسهولة، مثل الجمع و الطرح و الضرب و القسمة، إلى جانب تبسيط الكسور، تحويل الكسور، و مقارنة الكسور، مع عرض النتيجة بشكل واضح وتوضيح خطوات الحساب لتسهيل فهمها.
ما هو الكسر في الرياضيات؟
الكسر هو عدد يستخدم لتمثيل جزء من كل، ويتكون من بسط ومقام. يشير البسط إلى عدد الأجزاء التي نأخذها، بينما يشير المقام إلى العدد الكلي للأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها.
على سبيل المثال، في الكسر 3/8 يمثل الرقم 3 البسط، بينما يمثل الرقم 8 المقام. يمكن تصور ذلك على شكل دائرة مقسمة إلى 8 أجزاء متساوية، تم اختيار 3 أجزاء منها.
يجب الانتباه إلى أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا، لأن القسمة على الصفر غير معرفة في الرياضيات.
ما هو البسط والمقام؟
البسط هو العدد الموجود أعلى خط الكسر، يحدد عدد الأجزاء المأخوذة من الكل. أما المقام فهو العدد الموجود أسفل خط الكسر ويحدد عدد الأجزاء المتساوية التي يتكون منها الكل.
في هذا المثال:
- 3 هو البسط.
- 8 هو المقام.
أنواع الكسور
الكسر الحقيقي
الكسر الحقيقي هو الكسر الذي يكون فيه البسط أصغر من المقام، مثل:
وتكون قيمة الكسر الحقيقي أقل من 1.
الكسر غير الحقيقي
الكسر غير الحقيقي هو الكسر الذي يكون فيه البسط أكبر من المقام أو مساويًا له، مثل:
يمكن تحويل الكسر غير الحقيقي إلى عدد كسري.
العدد الكسري
العدد الكسري يتكون من عدد صحيح وكسر حقيقي، مثل:
الكسور المتكافئة
الكسور المتكافئة هي كسور مختلفة في الشكل لكنها تمثل القيمة نفسها.
القواعد العامة لحساب الكسور
إذا كان لدينا كسران بالشكل التالي:
يمكن كتابة القوانين العامة للجمع والطرح والضرب والقسمة كما يلي.
القانون العام لجمع الكسور
إذا كان المقامان مختلفين، يجب أولًا تحويل الكسرين إلى مقام مشترك.
القانون العام لطرح الكسور
تحتاج عملية الطرح، مثل الجمع، إلى توحيد المقامات عندما تكون مختلفة.
القانون العام لضرب الكسور
لا يحتاج ضرب الكسور إلى مقام مشترك. يتم ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام، ثم تبسيط الناتج إن أمكن.
القانون العام لقسمة الكسور
عند قسمة الكسور يتم قلب الكسر الثاني، أي تبديل البسط بالمقام، ثم تحويل القسمة إلى عملية ضرب.
كيفية جمع الكسور
إذا كان للكسرين نفس المقام، يتم جمع البسطين مع الاحتفاظ بنفس المقام.
أما إذا اختلف المقامان، فيجب أولًا توحيد المقامات.
المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 4 و6 هو 12، لذلك:
ثم نجمع:
جمع أكثر من كسر
يمكن استخدام الطريقة نفسها لجمع ثلاثة كسور أو أكثر. يتم إيجاد مقام مشترك لجميع الكسور، ثم تحويلها إلى كسور مكافئة قبل جمع البسوط.
كيفية طرح الكسور
طرح الكسور يشبه جمعها. إذا كان المقامان متساويين، يتم طرح البسطين مباشرة.
أما عند اختلاف المقامات، فيجب توحيدها أولًا.
كيفية ضرب الكسور
يتم ضرب الكسور بضرب البسوط في بعضها والمقامات في بعضها.
ولا توجد حاجة إلى توحيد المقامات عند الضرب.
الاختصار قبل الضرب
يمكن أحيانًا تبسيط عملية الضرب قبل تنفيذها عن طريق الاختصار بين بسط أحد الكسور ومقام الكسر الآخر.
يمكن اختصار 2 مع 10، واختصار 9 مع 3، فنحصل على:
كيفية قسمة الكسور
لقسمة كسر على كسر آخر، يتم قلب الكسر الثاني ثم ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.
ويمكن كتابة النتيجة كعدد كسري:
ما هو المقام المشترك؟
المقام المشترك هو مقام يمكن استخدامه لكتابة كسرين أو أكثر على صورة كسور متكافئة لها المقام نفسه. يستخدم خصوصًا في عمليات الجمع والطرح.
يمكن الحصول على مقام مشترك عن طريق ضرب المقامات، لكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر غالبًا ما يكون أفضل لأنه ينتج أعدادًا أصغر وأسهل في الحساب.
ما هو المضاعف المشترك الأصغر LCM؟
المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على عددين أو أكثر دون باقي.
على سبيل المثال، لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 2 و4 و6:
- مضاعفات 2: 2، 4، 6، 8، 10، 12…
- مضاعفات 4: 4، 8، 12…
- مضاعفات 6: 6، 12…
أول مضاعف مشترك بينها هو 12، لذلك:
كيفية توحيد المقامات
لتوحيد المقامات، يتم إيجاد المقام المشترك ثم ضرب بسط ومقام كل كسر في العدد المناسب للحصول على هذا المقام.
المقام المشترك الأصغر هو 12:
وبالتالي:
كيفية تبسيط الكسور
تبسيط الكسر يعني كتابته بأصغر بسط ومقام ممكنين مع الحفاظ على نفس القيمة.
ويتم ذلك بقسمة البسط والمقام على أكبر قاسم مشترك بينهما.
أكبر قاسم مشترك بين 24 و36 هو 12:
إذن:
القانون العام لتبسيط الكسور
إذا كان لدينا الكسر:
وليكن:
حيث GCD هو أكبر قاسم مشترك، فإن أبسط صورة للكسر هي:
مثال
ما هو أكبر قاسم مشترك GCD؟
أكبر قاسم مشترك هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم عددين دون باقي. يستخدم بشكل أساسي عند تبسيط الكسور.
على سبيل المثال:
لأن 6 هو أكبر عدد يقسم 18 و24 معًا.
كيفية تحويل الكسر غير الحقيقي إلى عدد كسري
لتحويل كسر غير حقيقي إلى عدد كسري، يتم قسمة البسط على المقام.
يمثل خارج القسمة العدد الصحيح، بينما يمثل الباقي بسط الجزء الكسري.
لدينا:
إذن:
كيفية تحويل العدد الكسري إلى كسر غير حقيقي
لتحويل العدد الكسري إلى كسر غير حقيقي، يتم ضرب العدد الصحيح في المقام، ثم إضافة البسط إلى الناتج، مع الاحتفاظ بالمقام نفسه.
كيفية تحويل العدد العشري إلى كسر
يمكن تحويل العدد العشري المنتهي إلى كسر باستخدام قوة من قوى العدد 10 كمقام.
إذا كان العدد يحتوي على منزلة عشرية واحدة، يكون المقام 10. إذا كان يحتوي على منزلتين، يكون المقام 100. وإذا كان يحتوي على ثلاث منازل، يكون المقام 1000، وهكذا.
مثال: تحويل 0.5 إلى كسر
مثال: تحويل 0.25 إلى كسر
مثال: تحويل 0.1234 إلى كسر
القانون العام لتحويل العدد العشري إلى كسر
إذا كان العدد العشري يحتوي على n منازل بعد الفاصلة، فإن المقام المستخدم يكون:
ثم يُكتب العدد دون الفاصلة في البسط ويتم تبسيط الناتج.
كيفية تحويل الكسر إلى عدد عشري
لتحويل أي كسر إلى عدد عشري، تتم قسمة البسط على المقام.
مثال
بعض الكسور تتحول إلى أعداد عشرية منتهية، بينما ينتج عن بعضها أعداد عشرية دورية.
كيفية تحويل الكسر إلى نسبة مئوية
لتحويل الكسر إلى نسبة مئوية، يتم قسمة البسط على المقام ثم ضرب الناتج في 100.
مثال
كيفية تحويل النسبة المئوية إلى كسر
يمكن تحويل النسبة المئوية إلى كسر عن طريق وضع قيمة النسبة على المقام 100 ثم تبسيط الكسر.
كيفية مقارنة كسرين
يمكن مقارنة كسرين بعدة طرق، منها توحيد المقامات أو استخدام الضرب التبادلي.
إذا كان لدينا:
نقارن:
مع:
مثال
بما أن:
فإن:
ما الفرق بين الكسر والعدد العشري؟
يمكن أن يمثل الكسر والعدد العشري القيمة نفسها بصيغتين مختلفتين.
تكون الكسور مفيدة عندما نرغب في الاحتفاظ بالقيمة الدقيقة، بينما تكون الأعداد العشرية مناسبة للكثير من العمليات اليومية والقياسات.
هل يمكن إجراء العمليات على الكسور ذات الأعداد الكبيرة؟
نعم، يمكن تطبيق قوانين الكسور نفسها مهما كانت قيمة البسط أو المقام، إلا أن الحساب اليدوي يصبح أصعب عندما تكون الأعداد كبيرة.
تساعد حاسبة الكسور على إجراء العمليات باستخدام أعداد كبيرة مع تبسيط النتيجة تلقائيًا والحفاظ على شكل الكسر الدقيق قدر الإمكان.
أمثلة على حساب الكسور
مثال على جمع الكسور
مثال على طرح الكسور
مثال على ضرب الكسور
مثال على قسمة الكسور
مثال على تبسيط كسر
مثال على تحويل كسر إلى عدد عشري
مثال على تحويل كسر إلى نسبة مئوية
الأسئلة الشائعة حول حساب الكسور
كيف أجمع كسرين مختلفي المقام؟
يتم إيجاد مقام مشترك، ويفضل استخدام المضاعف المشترك الأصغر، ثم تحويل الكسرين إلى هذا المقام وجمع البسطين.
هل يجب توحيد المقامات عند ضرب الكسور؟
لا. توحيد المقامات مطلوب في الجمع والطرح، أما عند الضرب فيتم ضرب البسوط والمقامات مباشرة.
لماذا نقلب الكسر الثاني عند القسمة؟
لأن قسمة عدد على كسر تعادل ضرب العدد في مقلوب ذلك الكسر. لذلك يتم تبديل بسط ومقام الكسر الثاني ثم إجراء الضرب.
ما هو المقام المشترك الأصغر؟
هو أصغر مقام يمكن استخدامه كقيمة مشتركة للكسور المراد جمعها أو طرحها، ويعتمد على المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
كيف أعرف أن الكسر في أبسط صورة؟
يكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون أكبر قاسم مشترك بين البسط والمقام مساويًا لـ 1.
هل يمكن أن يكون مقام الكسر صفرًا؟
لا. لا يمكن أن يكون المقام صفرًا لأن القسمة على الصفر غير معرفة رياضيًا.
هل يمكن أن تكون قيمة الكسر أكبر من 1؟
نعم. عندما يكون البسط أكبر من المقام تكون قيمة الكسر أكبر من 1، يسمى عندها كسرًا غير حقيقي، يمكن تحويله إلى عدد كسري.
هل يمكن تحويل أي كسر إلى عدد عشري؟
نعم. تتم قسمة البسط على المقام. وقد تكون النتيجة عددًا عشريًا منتهيًا مثل 1/2 = 0.5 أو عددًا عشريًا دوريًا مثل 1/3.
هل يمكن تحويل العدد العشري إلى كسر؟
يمكن تحويل كل عدد عشري منتهٍ إلى كسر باستخدام قوة مناسبة من قوى العدد 10 في المقام ثم تبسيط الناتج.
ما الفرق بين LCM وGCD في حساب الكسور؟
يُستخدم LCM أو المضاعف المشترك الأصغر غالبًا لتوحيد المقامات عند جمع وطرح الكسور، بينما يُستخدم GCD أو أكبر قاسم مشترك لتبسيط البسط والمقام.
هل الحاسبة تبسط النتيجة تلقائيًا؟
يمكن لآلة حساب الكسور تبسيط الناتج تلقائيًا وإظهاره في أبسط صورة، مع عرض العدد الكسري والقيمة العشرية والنسبة المئوية عند الحاجة.